Edexcel考试局 A-Level 高数 FP2 7个知识点备忘

参加Edexcel A-Level高数考试的小伙伴们,FP2的考试马上就要到了。比起FP1,FP2的难度和计算量明显提升了许多。大家考前要带好准考证,画图的铅笔橡皮,和计算器从容上考场。以下是一些考前备忘,特别是一些公式表上没有的公式,最后几天都要背下来啦!

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Edexcel考试局的考卷100%会涵盖以下7大知识点。

01 Inequalities不等式

1.遇到不等号两边都是分数,一定要乘以两边分母的平方,然后通过等式展开化简求出不等式。

2.等式两边的等式可以作图,或是值的情况请务必作图,帮助解答,可以减少计算量。

3.不等到两边同时乘以负数,不等号要变号。

4.不等式的题目相对来说是最简单的,大家戒骄戒躁认真画图计算,不能丢分。

02 Series 数列

1.数列的知识点如图。FP2中大家要学会通过差值求出的数列之和。

2.大家要认真列出U1,U2,U3,U4……,通过加法找到互相抵消的规则,然后进行计算。

3.数列的题也属于比较简单必须拿到分数的题目,经常会和泰勒、迈克劳林展开一起出现。

03 Further complex number 复数

1.复数加减:real part 和real part相加减,imaginary part 和imaginary part 相加减

2.复数乘法满足代数乘法分配率,除法使用上下同除以a-bi的方法去除分母上的复数

3. a+bi 的 conjugate complex number是 a-bi

4. 一个系数为实数的多项式中,如果a+bi是它的一个root,那么a-bi是他另外一个根。(注意,有且仅当多项式所有x前系数都是实数才能用这个定理!)

5. r=modulus=复数模长

6.θ =argument=复数的角度。取值范围( -π < x < π )。注意一定不能大于180°,不能小于-180°。四个象限的argument求法不同,必须画图,确定象限,再计算

7. modulus-argument form:r(cosθ +sinθ i)

8. exponential form:re^(iθ)

9.两个复数相乘,modulus相乘,argument相加,两个复数相除,modulus相除,argument相减

10.轨迹1:|z-2i|=3 表示,复数z到(0,2i)的距离=3,轨迹是一个圆。

11.轨迹2:|z+3|=|z-3i| 表示,复数z到(-3,0)的距离等于z到(0,3i)的距离,轨迹是(-3,0)和(0,3i)这两个点的中垂线(perpendicular bisector)

12.轨迹3:arg(z+3+3i)=0.5π 表示,复数z到(-3,-3i)的角度是0.5π,轨迹是的一条射线

13.使用Moivre’s theorem时注意cosθ-isinθ的情况,要转化成cos(-θ)+isin(-θ)的形式

14.求复数的roots时,使用Moivre’s theorem,需要先加2kπ,再进行角的相除。其中z的n次方,一定会有n个根。

15.求cos3θ的表达,请将(cosθ+isinθ)^3 展开。求出实数项即可。

16.求sin3θ的表达,请将(cosθ+isinθ)^3 展开。求出虚数项即可。

17. 这个公式用来求(cosθ)^5之类的表达式的,需要使用二项式展开的知识点。

18.所有轨迹题都可以将z设成x+yi的形式,使用代数的方法求出轨迹的表达式。

19.复数的transformation,步是将等式写成z in terms of w,设w=u+iv然后通过modulus的计算,或是关于z本身的性质,求出w。

04 First order differential equations

一阶微分方程

1.C4中的differential equation的知识点偶尔也会在考题中出现。大家要将dx和dy放到等式两边,将x放在dx一边,y放在dy一边,两边同时积分不要忘了+C.

2.C4中积分的五大方法:公式法,(ax+b)法,u-substitution法,integration by parts法,partial fraction法,都需要熟练掌握。

3.一定要会求integrating factor。公式需要自己背下来。公式表中不提供。

4.学会使用换元法,将一阶微分方程转化成可以使用integrating factor的标准化微分方程。大家一定要注意implicit function求导的计算。

5.一阶微分方程的题目相对来说计算量比较大,如果换元法不会证明,可以直接跳过做第二小题的积分,不要忘记+C!

05 Second order differential equations

二阶微分方程

1.二阶微分方程是FP2中的难点。计算量很大,公式需要自己记忆和运用。

2.二阶微分方程的General solution = complementary function + particular integral组成。

3.求complementary function需要使用Auxiliary equation。

三种情况:

4.Particular integral需要记忆以下情况:

Edexcel A-Level高数FP2知识点备忘

5.当particular integral的项同complementary function的项一致,需要将表格中的particular integral乘以x。

6.会使用换元法将复杂的二阶微分方程转化成可以使用公式的二阶微分方程。

06 Maclaurin and Taylor series

迈克劳林和泰勒展开

1.迈克劳林和泰勒展开因为都会提供公式,所以相对比较简单,大家按部就班求出各阶导数然后认真带入公式求出前几项即可。

2.泰勒公式有两个,做题前要确定使用哪一个。

3.迈克劳林公式是a=0时的泰勒展开,其中e^x,sinx,cosx,ln(1+x)的几个公式要熟练使用。

07Polar coordinates极坐标

1. 极坐标中rcosθ=x, rsinθ=y

Edexcel A-Level高数FP2知识点备忘

2. 极坐标和x,y坐标之间的转换要熟练。

3.极坐标画图:

r=a是一个圆,圆心是原点。

θ=α是一条射线,原点出发,角度=α

r=αθ是一个螺旋

4.关于r=a(p+qcosθ)的图形:

7.求极坐标图形中同x轴平行的切线(tangent parallel to the initial line)即求y关于θ的导数。

8.求极坐标图形中同y轴平行的切线(tangent perpendicular to the initial line)即求x关于θ的导数。

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