锦秋ALevel数学篇:如何选择分部积分中的u&v

积分在P4中是很多学生冲击高分的拦路虎,那其中最为头疼的就是分部积分了。分部积分是用于解决乘积形式函数的积分,最关键性的一步就是如何选择u&v。对于u&v的选取需要满足两个基本要求:1. v要容易求出2. ∫v du要比∫u dv容易求出。那接下来我们就进一步探讨u的选择顺序并分析一些常见的问题和考点。
Find ∫xcosx dx如若:令u=cosx  dv/du=x根据分步积分公式:∫xcosx dx= cosx+∫sinx dx可以看出,积分更难进行,依然无法得到结果,所以u,v选择不恰当。

正确思路应该是:

Find ∫xcosx dx

let u=x → du/dx=1

dv/dx=cosx → v=sinx

using the integration by parts formula:

∫xcosx dx=xsinx - ∫sinx dx= xsinx + cosx + c

小结:如若被积函数是幂函数乘正余弦函数,那就令幂函数为u,使其降幂一次。

然而在考试当中,一定不会只有以上这一种分步积分的考察式,

其他如:Find ∫x2ex dx,∫x2 lnx dx, ∫exsinx dx

那我们又应该如何来选择u呢?

这里送给大家一个小口诀方便记忆:“反对幂三指”

意思是对于乘积形式函数的积分,u的优先选择顺序应该是:反三角函数,对数函数,幂函数,三角函数,指数函数,简称为“反对幂三指”

所以  ∫x2ex dx,∫x2 lnx dx, ∫exsinx dx中的u分别对应的就应该是x2,lnx,sinx。

最后我们再一起来总结一下今天的学习,对于乘积形式的函数进行积分,做题准则是使用合适的分部u,更好的使函数容易积分,一个好的分部,是积分成功的前提,当然最重要的u的选取小秘诀“反对幂三指”也要烂熟于心哦!
作者:范倩倩,锦秋A-Level数学、生物主讲
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